Lotterimatematik – så räknar du ut dina chanser att vinna

Varför är det så otroligt svårt att vinna jackpotten på lotto? Hur kommer det sig att samma sex nummer kan dras två gånger i rad – och betyder det att lotteriet är fuskat? Och stämmer det verkligen att man kan garantera en jackpotvinst om man bara köper tillräckligt många rader?

Den här artikeln går igenom matematiken bakom lotteriet på ett sätt som inte kräver att du är någon räknesnille. Vi tar det steg för steg, förklarar alla begrepp och använder konkreta exempel hela vägen.

Vad är egentligen lotterimatematik?

Lotterimatematik är helt enkelt den del av matematiken som används för att räkna ut sannolikheterna i lotterispel – alltså hur troligt det är att du vinner, förlorar eller får ett visst antal rätt.

Det bygger framför allt på en gren som kallas kombinatorik. Kombinatorik handlar om att räkna ut antalet sätt något kan ske på. Om du till exempel undrar hur många olika sätt det finns att välja sex bollar ur en påse med 49 bollar, så är det ett kombinatoriskt problem.

Att förstå lotterimatematik kommer inte att göra dig till en lottomiljonär. Men det hjälper dig att förstå varför vinstchanserna är så små som de är – och varför vissa märkliga sammanträffanden i dragningar faktiskt inte är så märkliga.

Några grundbegrepp du behöver känna till

Innan vi börjar räkna är det bra att ha koll på fem ord som kommer återkomma.

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som beskriver hur troligt något är. Sannolikheten 0 betyder omöjligt, sannolikheten 1 betyder helt säkert. 0,5 motsvarar 50 procent – ungefär som chansen att få krona när du singlar slant.

Utan återläggning betyder att när en boll har dragits ur påsen så läggs den inte tillbaka. Varje boll kan alltså bara dras en gång under en dragning, precis som i verkliga lotterier.

Kombination betyder ett urval där ordningen inte spelar någon roll. Om du har dragit bollarna 3, 17 och 42 är det samma kombination som om du hade dragit 42, 3 och 17. Det är just så det fungerar i lotto – det viktiga är vilka nummer du har, inte i vilken ordning de dras.

Binomialkoefficient låter värst, men idén är enkel. Det är ett tal som svarar på frågan: ”På hur många olika sätt kan jag välja k saker från en grupp på n saker, om ordningen inte spelar någon roll?”. Den skrivs vanligen som C(n, k) eller ”n över k”. Till exempel: hur många sätt finns det att välja 6 bollar ur 49? Svaret är C(49, 6) = 13 983 816. Det är nästan 14 miljoner olika kombinationer – och det är därför jackpotten är så svår att vinna.

Fakultet är en räkneoperation som skrivs med ett utropstecken. 5! betyder 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Fakulteter används när man räknar ut binomialkoefficienter, men du behöver inte räkna dem för hand – varje miniräknare har en knapp för det.

Den grundläggande formeln, förklarad i klartext

I ett typiskt lottospel har vi fyra storheter:

• P = totala antalet bollar i påsen (till exempel 49)
• W = antalet vinnande bollar som dras (till exempel 6)
• T = antalet bollar du har kryssat på din kupong (oftast lika med W)
• M = antalet av dina kryssade bollar som matchar de vinnande

Sannolikheten att precis M av dina bollar är bland vinstnumren räknas ut så här:

P(M rätt) = [ C(T, M) × C(P − T, W − M) ] / C(P, W)

Det ser krångligt ut, men tanken är enkel. Föreställ dig att du delar upp alla bollar i två grupper: dem du har kryssat (T stycken) och dem du inte har kryssat (P − T stycken). För att få exakt M rätt måste:

1. M av de vinnande bollarna komma från din kryssade grupp – och det finns C(T, M) sätt att välja vilka.
2. Resten, alltså W − M vinnande bollar, komma från gruppen du inte kryssade – och det finns C(P − T, W − M) sätt att välja vilka.

Vi multiplicerar de två talen för att få det totala antalet ”lyckade” utfall. Sedan delar vi med det totala antalet möjliga dragningar, C(P, W), för att få sannolikheten.

Klassiskt exempel: lotto 6/49

I ett 6/49-lotteri väljer du 6 bollar av 49 och 6 vinnande dras. Så här ser dina chanser ut:

Ett par saker värda att lägga märke till:

Det troligaste utfallet är faktiskt att du får noll eller en rätt. Tillsammans utgör de två omkring 85 procent av alla utfall. Att inte få någon vinst alls är alltså det normala.

Chansen att vinna jackpotten är ungefär 1 på 14 miljoner. För att sätta det i perspektiv: om du köper en lott i veckan kan du i genomsnitt förvänta dig att vinna jackpotten en gång på cirka 270 000 år.

Lotterier med tilläggsbollar (”Powerball”)

Många moderna lotterier, som amerikanska Powerball eller europeiska Eurojackpot, har en extra dragning från en separat påse. Det kallas ofta för en ”powerball” eller ”stjärnboll”.

Idén är att man har två separata dragningar:

• Dragning 1: W₁ bollar dras ur en påse med P₁ bollar
• Dragning 2: W₂ bollar dras ur en annan påse med P₂ bollar

Eftersom dragningarna är oberoende av varandra räknar man ut sannolikheten för varje del för sig och multiplicerar sedan ihop dem.

Om vi tar Powerball som exempel: 5 nummer dras ur 69, och 1 nummer dras ur 26. Chansen att få 5 + 1 rätt blir då:

[1 / C(69, 5)] × [1 / 26] = 1 / 292 201 338

Chansen att vinna Powerball-jackpotten är alltså ungefär 1 på 292 miljoner. Det är mer än 20 gånger osannolikare än ett vanligt 6/49-lotto.

Bonusbollar – något annat än powerballs

Det är lätt att blanda ihop bonusbollar med powerballs, men de fungerar olika.

En bonusboll dras ur samma påse som de vanliga vinstnumren, efter den ordinarie dragningen. Det här systemet används i bland annat brittiska National Lottery. Bonusbollen ändrar inte huvudvinsten – den används för att skapa fler vinstklasser, så att en spelare som har ”5 rätt + bonusbollen” får ett större pris än någon med bara 5 rätt.

Matematiskt påverkar bonusbollen sannolikheterna eftersom den dras utan återläggning från samma påse, vilket gör att formeln blir aningen mer komplex. Men grundprincipen är densamma: man räknar antalet gynnsamma kombinationer och dividerar med totala antalet möjliga.

Kan man garantera en jackpotvinst?

Rent matematiskt: ja. Om du köper en lottrad för varje möjlig kombination så är du garanterad att ha den vinnande raden bland dem.

För ett 6/49-lotteri innebär det att du behöver köpa 13 983 816 olika rader. Om varje rad kostar 20 kronor blir det knappt 280 miljoner kronor.

Det här har faktiskt prövats i verkligheten. 1992 organiserade en grupp australiska investerare en operation där de försökte köpa upp alla kombinationer i Virginias lotteri i USA. De lyckades nästan – och vann jackpotten på 27 miljoner dollar.

Men det finns flera problem med strategin:

• Du måste ha enorma summor pengar tillgängliga.
• Det är praktiskt taget omöjligt att fysiskt köpa så många lotter på kort tid.
• Om någon annan också har den vinnande raden måste ni dela på jackpotten – och då kan hela operationen gå med förlust.
• Vissa lotterier förbjuder numera storskaliga uppköp.

Ett relaterat och mycket svårare matematiskt problem är: vad är det minsta antal rader man behöver köpa för att garantera att åtminstone en rad har minst 2 rätt? Det är ett öppet forskningsområde inom kombinatorik. För ett 5/90-lotteri är svaret 100 rader.

Är märkliga sammanträffanden bevis på fusk?

Den 6 september 2009 drog det bulgariska 6/49-lotteriet nummren 4, 15, 23, 24, 35 och 42. Fyra dagar senare, i nästa dragning, drogs exakt samma sex nummer igen. Lottmyndigheten utreddes för fusk – men ingenting konstigt hittades. Hur kunde det här hända?

Svaret är att även mycket osannolika händelser blir nästan oundvikliga om man har tillräckligt många möjligheter. Sannolikheten att två specifika på varandra följande dragningar ger exakt samma resultat är ungefär 1 på 14 miljoner. Men det finns ett otal lotterier i världen, och de drar nya nummer flera gånger i veckan, år efter år. Med så många dragningar att jämföra blir det förr eller senare oundvikligt att två dragningar någonstans råkar matcha.

Det här är samma princip som födelsedagsparadoxen: i en grupp på bara 23 personer är det över 50 procents chans att två av dem fyller år samma dag, trots att det finns 365 dagar att välja på. Det känns osannolikt – men det stämmer.

Lotterimatematik är därför inte bara ett verktyg för att räkna ut vinstchanser. Den hjälper oss också att förstå skillnaden mellan en genuint misstänkt händelse och ett helt naturligt sammanträffande.

Bortom lotteriet – andra spelformer och spelmarknader

De matematiska principer som styr lotteriet gäller även för andra typer av spel om pengar. När du satsar på sport, e-sport eller casinospel är det samma kombinatorik och sannolikhetslära som ligger bakom kulisserna – det som skiljer sig är hur oddsen sätts och vilka regelverk som omger spelet. Många svenska spelare väljer också betting utan svensk licens. 

Sammanfattningsvis

Lotterier är byggda på sannolikhetslagar som ligger djupt i matematiken. När man väl förstår grunderna – kombinationer, sannolikhet och den enkla idén att antalet gynnsamma utfall ska delas med antalet möjliga – så blir hela maskineriet förvånansvärt logiskt.

Men det gör inte att chanserna förbättras. I ett vanligt 6/49-spel är sannolikheten att vinna jackpotten ungefär 1 på 14 miljoner, och inga taktiker, system eller ”magiska nummer” kan ändra på det. Varje rad har exakt samma chans att vinna, varje gång.

Det bästa sättet att tjäna pengar på lotterimatematik är förmodligen att studera matematiken – inte att spela på den.